Đumić je započeo svoju karijeru u klubu Roskilde sa sjedištem u Himmelev-Veddelev Boldklub zajedno sa FC Midtjylland napadačem Mads Hvilsom .
Đumić se pridružio Norwich akademiji na početku 2008-09 sezone nakon što je prethodno nastupao za Hvidovre .
Dana 22. juna 2008. godine, Đumić je potpisao profesionalni ugovor s Norwich City . Od tada je bio uključen u brojne prijateljske utakmice predsezone kluba sve do 2009-10 sezone. On je napravio svoj debi za prvi tim Norwicha 10. novembra 2009. godine u Football League Trophy na gostovanju Swindon Town-u koji je Norwich pobjedio na penale.
Dana 14. januara 2010. godine, vratio se u Dansku, i potpisao za Brondby . Debitirao za Brondby 23. avgusta 2011.godine, u gostovanju protiv Silkeborga.
Dana 19. januara 2016. godine, preselio se u holandski klub NEC na posudbu do kraja sezone, uz opciju trajnog otkupa. U februaru 2016, on je potpisao na trajnoj osnovi, do juna 2019. godine.
Dario je igrao u svim mladima selekcije Danske , osim seniorskim. Međutim, on je otvoreno izrazio želju da igra za Bosnu i Hercegovinu u mnogim prilikama, čak i za danski sport kanal. To je postala realna mogućnost jer novi trener BIH reprezentacije, Mehmed Baždarević ,izražava veliki interes za mladog defanzivca.
U medijskim izvještajima, dresovima, Wikipediji i zapisnicima Dario Đumić je predstavljen kao Dario Dumić. Potencijalni reprezentativac BiH je odrastao u Danskoj i razlog zašto je sada registriran pod drugačijim prezimenom leži u tome što u tamošnjem jeziku ne postoji slovo Đ. "Danci su me registrirali kao Darija Dumića i ostalo je tako. Sada mi na dresu, također, stoji Dumić", ispričao je mladi defanzivac koji u posljednje vrijeme pruža odlične partije u dresu NEC Nijmegena. Na upit zašto sada ne ispravi D u Đ, odgovorio je: "Ne mogu to sada napraviti navijačima koji su kupili dres sa mojim prezimenom na leđima", našalio se Đumić.
https://twitter.com/dariodumic20
http://www.transfermarkt.de/dario-dumic ... eler/78818
